ВЕРНУТЬСЯ

Статика

Равнодействующая двух пересекающихся сил– ; диагональ параллелограмма . Равнодействующая сходящихся сил . Проекции силы на оси координат (для плоской сист.): F_x=F×cosa; F_y=F×cosb. Модуль силы:; направляющие косинусы: разложение на составляющие: , Для пространст. сист.: ,

F_x=Fcosa; F_y=Fcosb; F_z=Fcosg; ; .

Проекции равнодействующей системы сходящихся сил на координатные оси: R_x=åF_ix; R_y=åF_iy; R_z=åF_iz; . Условия равновесия сист. сходящихся сил: геометрическое:, аналитические: åF_ix=0; åF_iy=0; åF_iz=0. Условие равновесия пар сил: . Момент силы относительно точки: – векторное произведение. Модуль векторного произведения: R×F×sina= F×h. Плоская сист. сил: ±F×h, >0 – против час.стр.; <0 – по час.стр. =(yF_z – zF_y)+(zF_x – xF_z)+(xF_y – yF_x), проекции момента силы на оси координат: М_0x()=yF_z – zF_y; М_0y()=zF_x – xF_z; М_0z()=xF_y – yF_x.

Условия равновесия пл. сист. сил: аналитич.:, или, А,В,С – точки не на одной прямой, или , ось "х" не перпендикулярна отрезку АВ.

Закон Кулона (закон Амонта – Кулона): . Сила трения скольжения: . tgj_сц=f_сц; tgj_тр=f. М_тр= f_kN – момент трения качения. Момент силы относительно оси: . Моменты силы относительно осей координат: М_x()=yF_z – zF_y; М_y()=zF_x – xF_z; М_z()=xF_y – yF_x. Статические инварианты: 1-ый – квадрат модуля главного вектора: I₁= F_o²= F_x²+F_y²+F_z²; 2-ой – скалярное произв. главного вектора на гл. момент: I₂= =F_x×M_x+F_y×M_y+F_z×M_z.

Проекция гл. момента на направление гл. вектора . М_min=M^*

Главный вектор и гл.-ый момент ,

уравнения центр.-ой оси: .

Условия равновес. простр. сист.сил: åF_kx=0; åF_ky=0; åF_kz=0; åM_x(F_k)=0; åM_y(F_k)=0; åM_z(F_k)=0. Условия равновесия для сист. параллельных сил (||z): åF_kz=0; åM_x(F_k)=0; åM_y(F_k)=0. Координаты центра ||-ых сил: . Координаты центра тяжести: ; ; где Р=åр_k. Центр тяжести плоской фигуры: , . Центр тяжести: дуги окружности с центральным углом 2a: ; кругового сектора: .

Статический момент площади плоской фигуры – S_x=åy_i×DF_i= F×y_c; S_y=åx_i×DF_i= F×x_c.

Объем тела вращения V=2px_cF; площадь поверхности вращения F=2px_cL.

Центр тяжести плоской фигуры с вырезанной частью: .

Кинематика

s=f(t) –естественный способ задания движения, прямолинейное движение: х=f(t).

Координатный сп.: x=f₁(t), y=f₂(t), z=f₃(t). Уравнение траектории: f(x,y,z)=0.

Векторный сп.: радиус-вектор =, модуль , направляющие косинусы: и т.д. Переход от координатного способа к естественному: . Скорость точки. Вектор ск-сти: ; . Проекции скорости: , , . Модуль скорости: , направляющие косинусы: и т.д. Естественный сп.: , , – орт касательной. Движение в полярной системе координат: r=r(t) – полярный радиус, j=j(t) – угол. Проекции скорости на радиальное направление , поперечное направление , модуль скорости .; x=rcosj, y=rsinj. Ускорение точки. . Проекции уск.-я: и т.д. Модуль уск.-я:, направляющ. косинусы: , и т.д. Проекции уск. на радиальное напр-ние , поперечное напр-ние , модуль уск-я . . Модуль нормального ускорения: , r – радиус кривизны траектории, модуль касательного ускорения , ^, Þ . Прямолинейное движение: r= ¥, а_n=0, a=a_t_. Равномерное криволинейное движ-ие: v=const, a_t=0, a=a_n. s=s₀+v×t, при s₀=0 v=s/t. Равномерное прямолинейное движ-ие: а=a_t=a_n=0.

4) Равнопеременное криволинейное движ-ие: a_t=const, v=v₀+a_t×t, . Угловая ск-сть: , . Угловое ускорение тела: . Равномерное вращение: w=const, j=wt, w=j/t, равнопеременное вращение: w=w₀+et; . Скорости и ускорения точек вращающегося тела: . v=w×r×sin(a)= w×(CM), (СМ) – расстояние от точки М до оси вращения. Формулы Эйлера: ,

v_x=w_yz – w_zy; v_y=w_zx – w_xz; v_z=w_xy – w_yx. Если ось вращения совпадает с осью z, то v_x= – wy; v_y=wx. Ускорение: . Вращательное уск. , а^вр=e×r×sina, центростремительное уск. , а^ц=w²×R. Полное ускорение: . Угол, между полным и центростремит-ным ускорениями: . Плоское движение твердого тела.

Ур-ния плоского движения: x_A= f₁(t), y_A= f₂(t), j = f₃(t), Скорость ; , v_BA= w×BA, v_Acosa = v_Bcosb. Мгновенный центр ск-ей – Р: . , . Ускорения: ,

. , , , . Мгновенный центр уск-ий – Q; , , . Сферическое движение твердого тела. Уравнения сферического движения: Y=f₁(t); q=f₂(t); j=f₃(t) Y – угол прецессии, q – угол нутации, j – угол собственного вращения — углы Эйлера. Угловое ускорение: . Скорости точек при сферич. движ.: , модуль v=wr×sina=w×h, h– расст. от точки до мгновенной оси вращения.

Формулы Эйлера: .

Ускорения: , вращательное ускорение модуль вращат. уск. а^вр=e×r×sinb=e×h₁, h₁– расст. от точки до вектора , осестремительное ускорение , а^ос=w²×h. Движение свободного тв.тела. Ур-ия движ.св.тв.тела: x_A=f₁(t); y_A=f₂(t); z_A=f₃(t); Y=f₄(t); q=f₅(t); j=f₆(t) (углы Эйлера). Скорость точки св.тв.тела: . Уск-ие точки св.тв.тела: .

Сложное движение точки. Теорема о сложении скоростей:

, ; , ; ; ; , , . Теорема о сложении ускорений (теорема Кориолиса):

и т.д.

1) ;

3) ;

4) ,

; ; . . , ; а_с= 2×|w_e×v_r|×sin(w_e^{^}v_r).

Сложное движение тверд. тела. Правило параллелограмма угл.ск-ей:. . Угл. ск-сть. прецессии , угл. ск-сть нутации , угл. ск. собств-го вращ-ия . , – кинематические уравнения Эйлера. Сложение вращений вокруг 2-х параллельных осей.

Вращения направлены в одну сторону. w=w₂+w₁, , . 2) Вращ-ия напр. в разные стороны. , w=w₂—w₁, . 3) Пара вращений ; v_A=v_B, v=w₁×AB – момент пары угловых скоростей. Винтовое движение: шагом винта – h. Если v и w=const, то h==const, . Динамика

Основной закон динамики ( 2-ой закон (Ньютона)): . Дифференциальные уравнения движения материальной точки: , ; . – дифференциальное ур-ие прямолинейного движения точки, общее решение x=f(t,C₁,C₂), начальные условия: t=0, x=x₀, =V_x=V₀.

Свободные колебания ; c/m=k², ; x= C₁coskt + C₂sinkt,

= – kC₁sinkt + kC₂coskt, С₁= х₀, С₂=/k, т.е. x= х₀coskt + (/k)sinkt.

С₁=Аsinb, C₂=Acosb, x=Asin(kt+b) – гармонические колебания, А=–амплитуда, tgb=kx₀/, b – начальная фаза свободных колеб.; – собственная частота колеб.; период Т=2p/k. Статическое отклонение d_ст=Р/с. Т=2p.

Затухающие колебания R_x= – b сила сопротивления, , b/m=2n, , характеристическое уравнение: z² + 2nz + k²= 0, его корни:

z_1,2=. а) n<k ,

x=Ae^-^ntsin(kt+b). , ; частота затухающих колебаний: k^*=; период: . – декремент колебаний; –nT^*/2 логарифмический декремент; "n" – коэффициент затухания.

Б) Апериодическое движение n ³ k . При n > k , обозначая С₁=(В₁+В₂)/2, С₂=(В₁-В₂)/2, . При n = k , , Вынужденные колебания возмущающая сила: Q = Hsin(pt+d), р – частота возмущающей силы, d – начальная фаза. , h=Н/m, . х = х^*+х^**. х^*= C₁coskt + C₂sinkt, х^**= Asin(рt+d).

– количество движения матер.точки, – элементарный импульс силы. – теорема об изменении количества движ. матер. точки в дифф. форме или . – импульс силы за [0,t]. В проекциях на оси координат: и т.д. - момент количества движения матер. точки относительно центра О. Теорема об изменении момента количества движения матер. точки. . Если М_О= 0, Þ =const. =const, где – секторная скорость. Элементарная работа dA = F_tds, F_t – проекция силы на касательную к траектории, или dA = Fdscosa. dA= – скалярное произведение; dA= F_xdx+F_ydy+F_zdz. Работа силы на любом конечном перемещении М₀М₁: . Если F=const, то = F×s×cosa. , .

Работа силы тяжести: . A>0, если М₀ выше М₁.

Работа силы упругости: .

Работа силы трения: , F_тр=fN. Сила притяжения (тяготения): , k=gR². Работа силы тяготения:.

Мощность . Если N=const, то N=A/t.

Теорема об изменении кинетической энергии точки. В диффер-ной форме: . – кинетическая энергия матер.точки. В конечном виде: . , U=U(x₁,y₁,z₁,x₂,y₂,z₂,…x_n,y_n,z_n) – силовой функцией. Элементарная работа сил поля: dА=ådА_i= dU. Работа сил на конечном перемещении . Потенциальная энергия – П равна сумме работ сил потенциального поля на перемещении системы из данного положения в нулевое. А_1,2= П₁– П₂. Потенц. энергия поля силы тяжести: П= mgz. Потенц.энерг.поля центральных сил. Центральная сила –, . Гравитационная сила ,, f = 6,67×10^-11м³/(кгс²) – постоянная тяготения. Первая космическая скорость v₁=» 7,9 км/с, R = 6,37×10⁶м – радиус Земли; вторая космическая скорость: v₁₁=» 11,2 км/с. Потенц. энергия восстанавливающей силы пружин: , l – модуль приращения длины пружины. Работа восстанавливающей силы пружины: .

Динамика материальной системы и твердого тела

Центр масс (центр инерции) – геометрическая точка, радиус-вектор которой определяется равенством: , где – радиусы-векторы точек, образующих систему. Координаты центра масс: и т.д. Дифф-ные ур-ния движения системы матер.точек: или в проекциях на оси координат: и т.д. для каждой точки (тела) системы. Момент инерции матер.точки: mh². Момент инерции тела: J_z= åm_kh_k². При непрерывном распределении масс: J_x= ò(y²+z²)dm; J_y= ò(z²+x²)dm; J_z= ò(x²+y²)dm. J_z= M×r², r – радиус инерции тела. Полярный момент инерции J_o= ò( x²+y²+z²)dm; J_x+J_y+J_z= 2J_o. Центробежный момент инерции: J_xy=òxy dm; J_yz=òyz dm; J_zx=òzx dm. J_xy=J_yx

Тензор инерции в данной точке:

Моменты инерции стержня: ; . Сплошной диск: .

Полый цилиндр: , цилиндр с массой распределенной по ободу (обруч): . Теорема Гюйгенса-Штейнера: . Момент инерции относительно произвольной оси: J = J_xcos²a + J_ycos²b + J_zcos²g – 2J_xycosacosb – 2J_yzcosbcosg – 2J_zxcosgcosa, если координатные оси – главные, то:

J = J_xcos²a + J_ycos²b + J_zcos²g. Теорема о движении центра масс системы:

. дифференциальное уравнение движения центра масс: .

Закон сохранения движения центра масс. Если Þ , если при этом в начальный момент v_Cx₀= 0, то Þ Þ x_C= const. Количество движения системы . Теорема об изменении количества движения системы: , проекциях: . Теорема об изменении кол-ва движения системы в интегральной форме: . – импульсы внешних сил. В проекциях: Q₁_x – Q₀_x = åS^e_kx. Закон сохранения количества движения: Þ = const, в проекциях: Þ Q_x= const. Дифф-ное уравнение движения точки переменной массы: – уравнение Мещерского,

– реактивная сила, секундный расход топлива, . Формула Циолковского: . – число Циолковского, m₀ – стартовая масса ракеты. Главный момент количеств движения матер. системы (кинетический момент) . Теорема теорема об изменении кинетического момента: ; . Закон сохранения кинетического момента: если , то . Кинетический момент вращающегося тела

K_z = J_zw. Если M_z= 0, то J_zw = const. Кинетическая энергия системы .

Т = åТ_к. Поступательное движение: Т_пост=. Вращательное: Т_вр=. Плоскопараллельное (плоское): Т_пл=+, v_C – скорость центра масс. Теорема Кенига: Т=+. Работа момента: . Мощность: N=M_zw.

Теорема об изменении кинетической энергии системы: в дифференциальной форме: dT = , в конечной форме: Т₂ – Т₁= . Для неизменяемой системы и Т₂ – Т₁= . Коэфф-нт полезного действия:, h= N_маш/N_дв. Закон сохранения полной механической энергии: Т + П = const.

Дифференциальные ур-ния поступательного движения тела: и т.д. Дифф-ные ур-ния вращения тела вокруг неподвижной оси: , _.1) если = 0, то w = const; 2) = const, то e = const.

Ур-ние вращательного движения физического маятника: , , дифф-ное уравнение колебаний маятника: , sinj » j, тогда – дифф-ное уравнение гармонических колебаний. Решение этого уравнения: j = С₁coskt + C₂ sinkt или j = asin(kt + b). Период малых колебаний физического маятника Т= 2p/k = 2p. Для математического маятника:.