Сегодня

Добавить в избранное

УНИВЕРСАЛЬНЫЙ УЧЕБНИК
 


Из этого неравенства видно, что при x<x1  численные величины членов нашего ряда будут меньше ( во всяком случае не больше ) соответствующих членов ряда правой части записанного выше неравенства, которые образуют геометрическую прогрессию. Знаменатель этой прогрессии  по условию теоремы меньше единицы, следовательно, эта прогрессия представляет собой сходящийся ряд.

Поэтому на основании признака сравнения делаем вывод, что ряд  сходится, а значит ряд  сходится абсолютно.  

Таким образом, если степенной ряд сходится в точке х1, то он абсолютно сходится в любой точке интервала длины 2  с центром в точке х = 0.  

Следствие. Если при х = х1 ряд расходится, то он расходится для всех .  

Таким образом, для каждого степенного ряда существует такое положительное число R, что при всех х таких, что  ряд абсолютно сходится, а при всех ряд расходится. При этом число R называется радиусом сходимости. Интервал (-R, R) называется интервалом сходимости.

Отметим, что этот интервал может быть как замкнутым с одной или двух сторон, так и не замкнутым.

Радиус сходимости может быть найден по формуле:

                                                                         Б3

3.2    Определение. Тригонометрическим рядом называется ряд вида:

или, короче,

            Действительные числа ai, bi называются коэффициентами тригонометрического ряда.

Определение. Тригонометрическим рядом называется ряд вида:

или, короче, 3,3

2 Теорема Абеля. Если степенной ряд  сходится для положительного значения х=х1 , то он сходится равномерно в любом промежутке внутри . 

                                                                             Б4

4.2 Признак сравнения рядов с неотрицательными членами.  

Пусть даны два ряда  и   при un, vn ³ 0.            

            Теорема. Если un £ vn при любом n, то из сходимости ряда следует сходимость ряда , а из расходимости ряда следует расходимость ряда .  

            Доказательство. Обозначим через Sn и sn частные суммы рядов  и . Т.к. по условию теоремы ряд сходится, то его частные суммы ограничены, т.е. при всех n sn < M, где М – некоторое число. Но т.к. un £ vn, то Sn £ sn то частные суммы ряда тоже ограничены, а этого достаточно для сходимости.  

            Пример.  Исследовать на сходимость ряд

Т.к. , а гармонический ряд  расходится, то расходится и ряд .

              Пример. Исследовать на сходимость ряд

Т.к. , а ряд  сходится ( как убывающая геометрическая прогрессия), то ряд  тоже сходится.

              Также используется следующий признак сходимости:

Теорема. Если  и существует предел , где h – число, отличное от нуля, то ряды  и ведут одинаково в смысле сходимости.

 4.3 Разложение функций в степенной ряд имеет большое значение для решения различных задач исследования функций, дифференцирования, интегрирования, решения дифференциальных уравнений, вычисления пределов, вычисления приближенных значений функции.

Возможны различные способы разложения функции в степенной ряд. Такие способы как разложение при помощи рядов Тейлора и Маклорена были рассмотрены ранее. (См. Формула Тейлора. )

Существует также способ разложения в степенной ряд при помощи алгебраического деления. Это – самый простой способ разложения, однако, пригоден он только для разложения в ряд алгебраических дробей

Рассмотрим способ разложения функции в ряд при помощи интегрирования.  

С помощью интегрирования можно разлагать в ряд такую функцию, для которой известно или может быть легко найдено разложение в ряд ее производной.

            Находим дифференциал функции  и интегрируем его в пределах от 0 до х.

2) Теорема о почленном интегрировании ряда.

            Равномерно сходящийся на отрезке [a,b] ряд с непрерывными членами можно почленно интегрировать на этом отрезке, т.е. ряд, составленный из интегралов от его членов по отрезку [a,b] , сходится к интегралу от суммы ряда по этому отрезку.

             3) Теорема о почленном дифференцировании ряда.

            Если члены ряда  сходящегося на отрезке [a,b] представляют собой непрерывные функции, имеющие непрерывные производные, и ряд, составленный из этих производных сходится на этом отрезке равномерно, то и данный ряд сходится равномерно и его можно дифференцировать почленно.            

            На основе того, что сумма ряда является некоторой функцией от переменной х, можно производить операцию представления какой – либо функции в виде ряда (разложения функции в ряд), что имеет широкое применение при интегрировании, дифференцировании и других действиях с функциями.

            На практике часто применяется разложение функций в степенной ряд.  

Ряд Тейлора.

(Пьер Альфонс Лоран (1813 – 1854) – французский математик)

              Функция f(z), аналитическая в круге , разлагается в сходящийся к ней степенной ряд по степеням (zz0).

              Коэффициенты ряда вычисляются по формулам:

             Степенной ряд с коэффициентами такого вида называется рядом Тейлора.

ДАЛЬШЕ >>










Главная| Контакты | Заказать | Рефераты
 
Каталог Boom.by rating all.by

Карта сайта | Карта сайта ч.2 | KURSACH.COM © 2004 - 2011.